​​各位同学大家好！我是李永乐老师。

 

四年一度的世界杯又开始了。我们上次讲了本届卡塔尔世界杯足球中的黑科技，还没看过的朋友请点击这里。

在11月23日举行的比赛中，德国队爆冷1:2负于日本队，如今已经小组赛出局AC米兰直播。有网友惊呼：这集世界杯我四年前看过！那时候还是世界排名第一的德国队0:2输给了世界排名第59的韩国队，也是在小组赛就惨遭淘汰。

 

2018年世界杯德国队出局

 

为什么在足球场上经常出现爆冷的情况呢？在四年前，我曾经讨论过这个问题。如今世界杯又开始了，我发现：太阳下面没有新鲜事，四年前的理论，依然适用于现在的赛场。让我们通过几期节目，一起来探讨足球中的科学吧！

 

这一回，我们想从数学上讨论一下：足球场上的弱队究竟如何才能战胜强队。

 

如何评价两支队伍的强弱呢？一个比较好的标准是：通过大量数据研究，得出两只球队比赛时的进球比例。也就是如果比赛中出现了一粒进球，双方打入的概率之比。

 

本届世界杯中，德国队FIFA世界排名第11，日本队第24. 从赛后的技术统计看，德国队控球时间65%，日本队24%，德国队25次射门8次射正，日本队11次射门3次射正，通过几项技术指标，我们可以比较合理的假设：德国进球与日本进球的概率之比大约是七三开，也就是对于场上的每一粒进球，德国打入的概率是70%，而日本打入的概率是30%。

 

德国与日本队在数据方面的对比情况

 

下面，我们就能通过这个进球概率，研究一下日本队获胜的概率了。

 

我们知道：一场足球比赛的进球总数可以是奇数个，也可以是偶数个。奇数个进球不会出现平局，而偶数个进球会出现平局，所以我们首先来研究比较简单的奇数个进球的情况。

 

假如总进球数是1个，那么比赛结果只能是1:0，如果日本队胜，这个进球必须由日本打入，根据我们刚才的假设，这个概率是30%，也就是：如果比赛总进球是1个，日本队有30%的可能获胜。 

 

 

假如总进球数是3个，日本获胜的概率有多大呢？此时的比赛结果可能是3:0，也可能是2:1.

​如果日本队以3:0获胜，就需要三个球都是日本打入，概率为P=(30%)³=2.7%

如果日本队以2:1获胜，就稍微复杂一些。首先，这种情况下，日本的进球可能是前两个，也可能是后两个，也可能是第一、第三个，一共有三种情况。每种情况都是日本进2球，德国进1球，所以总共的概率就3x(30%)²x70%=18.9%。

 

 

​日本3:0获胜的概率2.7%，2:1获胜的概率18.9%，所以比赛总进球是3个的时候，日本队获胜的概率是

​P=2.7%+18.9%=21.6%

 

我们顺着这个思路继续计算：如果比赛的总进球数是5个，那么日本获胜的概率有多大？

如果日本以5:0获胜，就是5个球都是日本进的，概率是P=(30%)⁵=0.243%。

如果日本以4:1获胜，那么5球中有4球是日本进的，1球是德国进的，概率是P=5x(30%)⁴x(70%)=2.835%。

如果日本以3：2获胜，那么5球中3球是日本进的，2球是德国进的，概率是P=10x(30%)³x(70%)²=13.23%。

 

 

综上，如果总进球数是5个，那么日本获胜的概率是：

P=0.243%+2.835%+13.23%=16.308%

 

大家发现了吗？如果总进球数是奇数个，总进球数越多，弱队获胜的概率就越低，强队获胜的概率就越高。

 

 

如果总进球数是偶数个，情况也是类似的。只是偶数个进球有平局的可能，通过计算，我们会获得这样的结果：随着进球个数的增加，弱队队获胜的概率缓慢下降，平局的概率快速下降，强队获胜的概率大幅提高。

 

 

总而言之，无论总进球数是奇数个还是偶数个，在总进球数比较少时，弱队获胜的概率都更大一些。如果总进球数多，弱队获胜的希望就更加渺茫。

 

所以，在足球比赛中，强队一般喜欢主动出击，即便丢了一两个球也关系不大，只要进球数足够多，强队往往都能获胜。而弱队一般选择全力防守，最好大家谁也不要进球，等待机会反戈一击的机会。

 

四年前的德国和韩国的比赛就是这样，德国急于进攻，韩国严防死守，90分钟的比赛里双方谁也没进球。在伤停补时阶段，德国急了，他们必须赢球才有小组出线的希望，结果把自己的后防线空了出来，韩国队连进两球，卫冕冠军德国队在小组赛就被淘汰了。

 

2018年世界杯德国队负于韩国队

 

本次世界杯德国再次上演了同样的悲剧，全场保持优势，领先到第74分钟，被日本抓住机会扳平比分后后防全乱，第82分钟再次被攻破大门。

 

2022世界杯第74分钟日本扳平比分1:1

 2022世界杯第82分钟日本队第2粒进球

 

正因为足球比赛的进球数少，比赛的不确定性很大，所以不到比赛结束，我们永远无法预料比赛的结果。足球场上没有永远的王者，也许这也正是这项运动的魅力所在吧！

 

关注我，看我继续漫谈世界杯。

 ​​​​